Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 374

\[\boxed{\mathbf{374}.}\]

\[Пусть\ \text{x\ }\frac{км}{ч} - скорость\ \]

\[автобуса;\]

\[\text{y\ }\frac{км}{ч} - скорость\ \]

\[автомобиля.\]

\[s - расстояние\ между\ \]

\[городами.\]

\[t_{автоб}. = \frac{s}{x} \rightarrow s = 42 \cdot (x + y);\]

\[t_{автом}. = \frac{s}{y} \rightarrow s = 15 \cdot (y - x).\]

\[Составим\ систему\ уравнений:\]

\[\left\{ \begin{matrix} \frac{x}{s} + \frac{y}{s} = \frac{1}{42}\text{\ \ } \\ \frac{y}{s} - \frac{x}{s} = \frac{1}{154} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{t_{автоб}} + \frac{1}{t_{автом}} = \frac{1}{42}\text{\ \ } \\ \frac{1}{t_{автом}} - \frac{1}{t_{автоб}} = \frac{1}{154} \\ \end{matrix} \right.\ ( + )\]

\[\frac{2}{t_{автом}} = \frac{1}{42} + \frac{1}{154} = \frac{14}{462}\]

\[t_{автом} = \frac{2 \cdot 462}{14} = 66\ (мин).\]

\[\frac{1}{t_{автоб}} = \frac{1}{66} - \frac{1}{154} = \frac{2}{231}\]

\[t_{автоб} = \frac{231}{2}.\]

\[В\ пункте\ \text{A\ }автомобиль\ с\]

\[\ автобусом\ будут\]

\[\ одновременно,\ если\ сделают\]

\[2x\ и\ (2y + 1)\ поездок;\ \ x;y \in Z.\]

\[2xt_{автоб} = (2y + 1)t_{автом}\]

\[231x = (2y + 1) \cdot 66\ \ \ \ \ \ |\ :231\]

\[x = \frac{2 \cdot (2y + 1)}{7};\ \ \]

\[\ \ 2y + 1 = 7 \rightarrow y = 3:\]

\[(2 \cdot 3 + 1) \cdot 66 = 7 \cdot 66 =\]

\[= 482\ мин =\]

\[= 7\ ч\ 42\ мин - через\]

\[\ такое\ время\]

\[автобус\ и\ автомобиль\ будут\ \]

\[одновременно\ в\ пункте\ \text{A.}\]

\[Ответ:через\ 7\ ч\ 42\ мин.\]