Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 282

\[\boxed{\mathbf{282}.}\]

\[n^{5} - 6n = n^{5} - n - \underset{\vdots 5}{\overset{5n}{︸}}\]

\[n^{5} - n = n\left( n^{4} - 1 \right) =\]

\[= n\left( n^{2} - 1 \right)\left( n^{2} + 1 \right) =\]

\[= \underset{\begin{matrix} три\ последовательных \\ натуральных\ числа \\ \end{matrix}}{\overset{n(n - 1)(n + 1)}{︸}}\left( n^{2} + 1 \right)\]

\[Если\ одно\ из\ чисел\]

\[\text{\ n}(n - 1)(n + 1)\ кратно\ 5,\ то\ \]

\[и\ все\ произведение\]

\[будет\ кратно\ 5.\]

\[Допустим:\ \ n(n - 1)(n + 1)\ не\]

\[\ кратно\ 5\ и\ (n + 2)\ \vdots 5.\]

\[n + 2 = 5k;\ \ n = 5k - 2:\]

\[n^{2} + 1 = (5k - 2)^{2} + 1 =\]

\[= 25k^{2} - 20k + 4 + 1 =\]

\[= 25k^{2} - 20k + 5\ \vdots 5.\]

\[Если\ n(n - 1)(n + 1)(n + 2)\]

\[\ не\ кратно\ 5:\]

\[n + 3\ \vdots 5;\ \ n + 3 = 5k;\]

\[\ \ n = 5k - 3.\]

\[n^{2} + 1 = (5k - 3)^{2} + 1 =\]

\[= 25k^{2} - 30k + 9 + 1 =\]

\[= 25k^{2} - 30k + 10\ \vdots 5.\]

\[Следовательно:\]

\[n^{5} - 6n\ \vdots 5\ для\ \forall n \in N.\]