Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 281

\[\boxed{\mathbf{281}.}\]

\[m;n \in N;\ \ (m + n + 2)\ \vdots 6.\]

\[m + n + 2 = 6k;\ \ k \in Z:\]

\[(m + n + 2)^{3} = m^{3} +\]

\[+ 3m^{2}(n + 2) + 3m(n + 2)^{2} +\]

\[+ (n + 2)^{3} =\]

\[= m^{3} + 3m^{2}(n + 2) +\]

\[+ 3m(n + 2)^{2} + (n + 3)^{3} =\]

\[= m^{3} + 3m^{2}n + \underset{\vdots 6}{\overset{6m^{2}}{︸}} + 3mn^{2} +\]

\[+ \underset{\vdots 6}{\overset{12mn}{︸}} + \underset{\vdots 6}{\overset{12m}{︸}} + n^{3} +\]

\[+ \underset{\vdots 6}{\overset{6n^{2}}{︸}} + \underset{\vdots 6}{\overset{12n}{︸}} + 8;\]

\[m^{3} + n^{3} + 8 + 3mn\underset{6k - 2}{\overset{(m + n)}{︸}}\ \vdots 6\]

\[m^{3} + n^{3} + 8 + \underset{\vdots 6}{\overset{6mn(3k - 1)}{︸}}\ \vdots 6\]

\[Следовательно:\]

\[m^{3} + n^{3} + 8\ \vdots 6.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]