Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 283

\[\boxed{\mathbf{283}.}\]

\[1)\ a = \frac{n^{2} + 2}{n - 1} =\]

\[= \frac{(n - 1)^{2} + 2 \cdot (n - 1) + 3}{n - 1} =\]

\[= n - 1 + 2 + \frac{3}{n - 1} =\]

\[= n + 1 + \frac{3}{n - 1} \rightarrow целое\ число\]

\[\ при\ n = - 2;0;2;4.\]

\[2)\ a = \frac{2n^{2} + 1}{2n^{2} - 1} = \frac{2n^{2} - 1 + 2}{2n^{2} - 1} =\]

\[= 1 + \frac{2}{2n^{2} - 1} \rightarrow целое\ число\ \]

\[при\ n = \pm 1;0.\]

\[3)\ a = \frac{n^{4} + 3n^{2} + 7}{n^{2} + 1} =\]

\[= \frac{\left( n^{2} + 1 \right)^{2} + \left( n^{2} + 1 \right) + 5}{n^{2} + 1} =\]

\[= n^{2} + 2 + \frac{5}{n^{2} + 1} \rightarrow целое\]

\[число\ \ при\ n = \pm 2;0.\]

\[4)\ a = \frac{n^{5} + 3}{n^{2} + 1} =\]

\[= \frac{n\left( n^{2} + 1 \right)^{2} - 2 \cdot \left( n^{2} + 1 \right) + n + 3}{n^{2} + 1} =\]

\[= n^{3} - n + \frac{n + 3}{n^{2} + 1}\]

\[При\ \ \frac{n + 3}{n^{2} + 1} - целое\ число.\]

\[Пусть\ \ \frac{n + 3}{n^{2} + 1} = t:\]

\[n + 3 = t\left( n^{2} + 1 \right)\]

\[n + 3 = n^{2}t + t\]

\[n^{2}t + t - 3 - n = 0\]

\[При\ t = 0 \rightarrow n = - 3;\]

\[при\ t \neq 0 \rightarrow tn^{2} - n + t - 3 = 0\]

\[D = 1 - 4t^{2} + 12t\]

\[D \geq 0\ при\ t = 1;2;3.\]

\[при\ t = 1 \rightarrow n^{2} - n - 2 =\]

\[= 0 \rightarrow n = - 1;2;\]

\[при\ t = 2 \rightarrow 2n^{2} - n - 1 =\]

\[= 0 \rightarrow n = 1;\]

\[при\ t = 3 \rightarrow 3n^{2} - n =\]

\[= 0 \rightarrow n = 0;\ - 3.\]

\[Выражение\ является\ целым\ \]

\[числом\ при\ n = - 3;\ \pm 1;0;2.\]