Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 255

\[\boxed{\mathbf{255}.}\]

\[n - 1;n\ n + 1 - три\ \]

\[последовательных\]

\[\ натуральных\ числа.\]

\[Сумма\ их\ кубов:\]

\[(n - 1)^{3} + n^{3} + (n + 1)^{3} = n^{3} -\]

\[- 3n^{2} + 3n - 1 + n^{3} + n^{3} +\]

\[+ 3n^{2} + 3n + 1 =\]

\[= 3n^{3} + 6n = 3n\left( n^{2} + 2 \right).\]

\[Если\ \text{n\ }не\ кратно\ 3,\ то\ n =\]

\[= 3k + 1\ или\ n = 3k + 2.\]

\[n = 3k + 1:\]

\[n^{2} + 2 = (3k + 1)^{2} + 2 = 9k^{2} +\]

\[+ 6k + 1 + 2 =\]

\[= 9k^{2} + 6k + 3\ \vdots 3.\]

\[n = 3k + 2:\]

\[n^{2} + 2 = (3k + 2)^{2} + 2 = 9k^{2} +\]

\[+ 12k + 4 + 2 = 9k^{2} +\]

\[+ 12k + 6\ \vdots 3.\]

\[Следовательно,\ при\ \]

\[3\ \vdots 3\ и\ n\ \vdots 3:\]

\[a \vdots (3 \cdot 3) \rightarrow a \vdots 9.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]