Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 244

\[\boxed{\mathbf{244}.}\]

\[12^{39} + 13^{41} = (10 + 2)^{39} +\]

\[+ (10 + 3)^{41}\]

\(Последняя\ цифра\ будет\ равна\ \)

\[последней\ цифре\ в\ 2^{39} + 3^{41}.\]

\(Рассмотрим\ степени\ 2\ и\ 3.\)

\[2^{1} = 2;2^{2} = 4;2^{3} = 8;2^{4} = 16;\]

\[2^{5} = 32 - повтор.\]

\[3^{1} = 3;\ \ 3^{2} = 9;\ \ 3^{3} = 27;\ \ \]

\[3^{4} = 81;\ \ \]

\[3^{5} = 243 - повтор.\]

\[Найдем\ остатки\ от\ деления\]

\[\ степеней\ на\ их\]

\[\ периодичность.\]

\[39\ :4 = 9\ (ост.\ 3) \rightarrow 2^{3} = 8;\ \ \ \]

\[41\ :4 = 10\ (ост.\ 1) \rightarrow 3^{1} = 3.\]

\[Тогда\ последняя\ цифра:\]

\[2^{39} + 3^{41} = 8 + 3 = 11.\]

\[Ответ:1.\]