Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 240

\[\boxed{\mathbf{240}.}\]

\[(m + 5n + 7)^{6}(3m + 7n + 2)^{4};\ \ \]

\[m,\ n \in N.\]

\[1)\ Пусть\ m - четное;\]

\[n - четное;тогда\]

\[m = 2m_{1};\ \ n = 2n_{1}.\]

\[\left( 2m_{1} + 10n_{1} + 7 \right)^{6} \cdot\]

\[\cdot \left( 6m_{1} + 14n_{1} + 2 \right)^{7} =\]

\[= \left( 2m_{1} + 10n_{1} + 7 \right)^{6} \cdot 2^{7} \cdot\]

\[\cdot \left( 3m_{1} + 7n_{1} + 1 \right)^{7};\]

\[так\ как\ 2^{7} = 128\ \vdots 64;то\ и\ все\ \]

\[выражение\ кратно\ 64.\]

\[2)\ Пусть\ m - четное;\]

\[n - нечетное;тогда\]

\[m = 2m_{1};\ \ n = 2n_{1} + 1.\]

\[\left( 2m_{1} + 5 \cdot \left( 2n_{1} + 1 \right) + 7 \right)^{6} \cdot\]

\[\cdot \left( 6m_{1} + 7 \cdot \left( 2n_{1} + 1 \right) + 2 \right)^{7} =\]

\[= \left( 2m_{1} + 10n_{1} + 12 \right)^{6} \cdot\]

\[\cdot \left( 6m_{1} + 14n_{1} + 9 \right)^{7} =\]

\[= 2^{6} \cdot \left( m_{1} + 5n_{1} + 6 \right)^{6} \cdot\]

\[\cdot \left( 6m_{1} + 14n_{1} + 9 \right)^{7};\]

\[так\ как\ 2^{6} = 64\ \vdots 64;то\ и\ все\ \]

\[выражение\ кратно\ 64.\]

\[3)\ Пусть\ m - нечетное;\]

\[n - нечетное;тогда\]

\[m = 2m_{1} + 1;\ \ n = 2n_{1} + 1.\]

\[\left( 2m_{1} + 1 + 5 \cdot \left( 2n_{1} + 1 \right) + 7 \right)^{6} \cdot\]

\[\cdot \left( 3 \cdot \left( 2m_{1} + 1 \right) + 7 \cdot \left( 2m_{1} + 1 \right) + 2 \right)^{7} =\]

\[= \left( 2m_{1} + 10n_{1} + 13 \right)^{6} \cdot\]

\[\cdot \left( 6m_{1} + 14n_{1} + 12 \right)^{7} =\]

\[= \left( 2m_{1} + 10n_{1} + 13 \right)^{6} \cdot 2^{7} \cdot\]

\[\cdot \left( 3m_{1} + 7n_{1} + 6 \right)^{7};\]

\[так\ как\ 2^{7} = 128\ \vdots 64;то\ и\ все\]

\[\ выражение\ кратно\ 64.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]