Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 241

\[\boxed{\mathbf{241}.}\]

\[Пусть\ n;n + 1;n + 2;\]

\[n + 3 - четыре\ \]

\[последовательных\ \]

\[натуральных\]

\[числа.\ Получаем:\]

\[n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 =\]

\[= \left( n^{2} + n \right)\left( n^{2} + 5n + 6 \right) + 1 =\]

\[= n^{4} + n^{3} + 5n^{3} + 5n^{2} + 6n^{2} +\]

\[+ 6n + 1 = n^{4} + 6n^{3} + 11n^{2} +\]

\[+ 6n + 1 =\]

\[= n^{4} + 6n^{3} + 2n^{2} + 9n^{2} + 6n +\]

\[+ 1 = n^{4} + 2n^{2}(3n + 1) +\]

\[+ (3n + 1)^{2} =\]

\[= \left( \underset{\ni N}{\overset{n^{2} + 3n + 1}{︸}} \right)^{2}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]