17) Задумали трёхзначное число, которое делится на 35. Затем цифры десятков и единиц поменяли местами и полученное число вычли из задуманного. Получили число 63. Какое число было задумано?

Решение: Пусть задуманное число имеет вид \(100a + 10b + c\), где a, b, c - цифры. По условию число делится на 35, значит оно кратно 5 и 7. После перестановки цифр десятков и единиц получили число \(100a + 10c + b\). Из условия следует, что \((100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 63\). Упростим уравнение: \(9b - 9c = 63\), значит \(b - c = 7\). Так как b и c - цифры, то возможны следующие варианты: 1. \(b = 7, c = 0\) 2. \(b = 8, c = 1\) 3. \(b = 9, c = 2\) Число делится на 35, значит оно делится на 5, т.е. заканчивается на 0 или 5. Тогда \(c = 0\) или \(c = 5\). Если \(c=0\), то \(b=7\). Тогда число имеет вид \(100a + 70\). Это число должно делиться на 35, значит \(100a + 70 = 35k\), где k - целое число. Разделим обе части на 5: \(20a + 14 = 7k\), или \(20a = 7k - 14 = 7(k-2)\). Значит 20a должно делиться на 7, но 20 на 7 не делится, значит а должно делиться на 7. Единственная возможная цифра - \(a = 7\). Тогда число \(770 = 35 \cdot 22\). Если \(c=5\), то \(b=12\). Это невозможно, так как b должна быть цифрой. Проверим число 770. При перестановке цифр получим 707. \(770 - 707 = 63\). Условие выполняется. Ответ: 770