Задание 9: В треугольнике ABC сторона AC = 31, BM – медиана, BH – высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.

Поскольку BM - медиана, то AM = MC. Значит, AM = MC = AC/2 = 31/2 = 15.5. Так как BC = BM, то треугольник BCM - равнобедренный. Следовательно, углы BMC и BCM равны. По условию BH - высота, значит, угол BHC = 90 градусов. Так как треугольник BCM - равнобедренный, а BH - высота, проведенная к основанию MC, то BH также является медианой. Значит, MH = HC. Поскольку MC = 15.5, то MH = HC = MC/2 = 15.5/2 = 7.75. Теперь найдем AH. AH = AM + MH = 15.5 + 7.75 = 23.25. Ответ: AH = 23.25