ЗАДАНИЕ №7 В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, BC = 25 и BH = 20. Найдите косинус угла A.

Для решения этой задачи, мы будем использовать свойства прямоугольных треугольников и определение косинуса. Косинус угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. В нашем случае, нам нужно найти косинус угла A в треугольнике ABC. Однако у нас есть информация про треугольник BHC, который является частью треугольника ABC. 1. **Рассмотрим треугольник BHC. Он прямоугольный, с прямым углом H:** - Нам известны BC = 25 и BH = 20. - Сначала найдем косинус угла B в треугольнике BHC: $$cos B = \frac{BH}{BC} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$$ 2. **По свойствам прямоугольного треугольника, сумма острых углов равна 90 градусов**. Угол A + угол B = 90 градусов Угол ACH + угол HCB = 90 градусов Угол B = угол ACH (тк оба дополняют до 90 град один и тот же угол). Значит: cos(B) = cos(ACH) = 4/5 3. **Теперь рассмотрим треугольник ACH. Он тоже прямоугольный, с прямым углом H:** Угол А равен 90 - угол В, Значит, угол А равен углу НСВ. А значит, cos(A) = sin(B), но также из треугольника BHC sin(B) = HC/BC, а также из BHC по пифагору HC= sqrt(BC^2 - BH^2)= sqrt(25^2 - 20^2) = sqrt(625-400) = sqrt(225) = 15. Значит sin(B) = 15/25 = 3/5 4. **Однако из предыдущего рассуждения cos(B) = 4/5**, а нам нужен cos(A). Поскольку угол A и угол B в треугольнике ABC являются комплементарными (в сумме 90 градусов), то cos(A) = sin(B) $$sin B = \frac{CH}{BC} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$$ 5. **И так cos(A) = sin(B):** $$\cos A = \frac{CH}{AC} \\ $$ мы не знаем ни CH, ни AC, а sin(B) нам известен, который равен cos(A). Значит, cos(A) = 3/5 (тк синус B = CH/BC) **Ответ:** \(\cos A = \frac{3}{5}\)