Для решения этой задачи, мы будем использовать свойства прямоугольных треугольников и определение косинуса. Косинус угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. В нашем случае, нам нужно найти косинус угла A в треугольнике ABC. Однако у нас есть информация про треугольник BHC, который является частью треугольника ABC.
1. **Рассмотрим треугольник BHC. Он прямоугольный, с прямым углом H:**
- Нам известны BC = 25 и BH = 20.
- Сначала найдем косинус угла B в треугольнике BHC:
$$cos B = \frac{BH}{BC} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$$
2. **По свойствам прямоугольного треугольника, сумма острых углов равна 90 градусов**.
Угол A + угол B = 90 градусов
Угол ACH + угол HCB = 90 градусов
Угол B = угол ACH (тк оба дополняют до 90 град один и тот же угол). Значит: cos(B) = cos(ACH) = 4/5
3. **Теперь рассмотрим треугольник ACH. Он тоже прямоугольный, с прямым углом H:**
Угол А равен 90 - угол В, Значит, угол А равен углу НСВ.
А значит, cos(A) = sin(B), но также из треугольника BHC sin(B) = HC/BC, а также из BHC по пифагору HC= sqrt(BC^2 - BH^2)= sqrt(25^2 - 20^2) = sqrt(625-400) = sqrt(225) = 15. Значит sin(B) = 15/25 = 3/5
4. **Однако из предыдущего рассуждения cos(B) = 4/5**, а нам нужен cos(A). Поскольку угол A и угол B в треугольнике ABC являются комплементарными (в сумме 90 градусов), то cos(A) = sin(B)
$$sin B = \frac{CH}{BC} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$$
5. **И так cos(A) = sin(B):**
$$\cos A = \frac{CH}{AC} \\ $$ мы не знаем ни CH, ни AC, а sin(B) нам известен, который равен cos(A). Значит, cos(A) = 3/5 (тк синус B = CH/BC)
**Ответ:** \(\cos A = \frac{3}{5}\)