1. Иван Андреевич Крылов не сразу стал писать басни, а поначалу увлекался драматургией. - Сложносочинённое предложение. (союз 'а' соединяет равноправные части)
2. Только в баснях раскрылся талант Крылова, и слава его связана именно с этим жанром. - Сложносочинённое предложение. (союз 'и' соединяет равноправные части)
3. Первый сборник басен был издан в 1809 году, а последний вышел в 1843. - Простое с однородными членами. (однородные подлежащие, соединенные союзом 'а')
4. Его популярность была так велика, что самые лучшие художники считали за честь иллюстрировать его басни. - Сложноподчинённое предложение. (союз 'что' связывает главное и придаточное).