Задание 12: В треугольнике ABC проведена медиана BM и на стороне AB взята точка K так, что AK = \(\frac{1}{8}\)AB. Площадь треугольника AMK равна 6. Найдите площадь треугольника ABC.

Дано, что в треугольнике ABC проведена медиана BM, и точка K на стороне AB такая, что AK = \(\frac{1}{8}\)AB. Площадь треугольника AMK равна 6. Нужно найти площадь треугольника ABC. Поскольку BM - медиана, то AM = MC. Это значит, что AM = \(\frac{1}{2}\)AC. Также известно, что AK = \(\frac{1}{8}\)AB. Площадь треугольника AMK можно выразить как \(\frac{1}{2}\) * AK * AM * sin(A). Площадь треугольника ABM можно выразить как \(\frac{1}{2}\) * AB * AM * sin(A). Таким образом, отношение площадей треугольников AMK и ABM равно отношению их оснований AK и AB: \(\frac{S_{AMK}}{S_{ABM}} = \frac{AK}{AB} = \frac{\frac{1}{8}AB}{AB} = \frac{1}{8}\) Зная, что S_{AMK} = 6, можно найти S_{ABM}: \(S_{ABM} = 8 * S_{AMK} = 8 * 6 = 48\) Так как BM - медиана, то площадь треугольника ABC в два раза больше площади треугольника ABM: \(S_{ABC} = 2 * S_{ABM} = 2 * 48 = 96\) Ответ: Площадь треугольника ABC равна 96.