Задание 3. В треугольнике ABC известно, что AB = BC, медиана BM равна 3. Площадь треугольника ABC равна 12√10. Найдите длину стороны AB.

Рассмотрим треугольник ABC, где AB = BC, а BM - медиана. Значит, AM = MC, и BM является высотой треугольника ABC (так как ABC - равнобедренный). Обозначим AM = MC = x. Тогда AC = 2x. Площадь треугольника ABC можно выразить как: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM\] По условию, (S_{ABC} = 12\sqrt{10}) и (BM = 3). Подставим эти значения в формулу площади: \[12\sqrt{10} = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot 3\] \[12\sqrt{10} = 3x\] \[x = \frac{12\sqrt{10}}{3}\] \[x = 4\sqrt{10}\] Теперь мы знаем, что (AM = 4\sqrt{10}), а (AC = 2x = 8\sqrt{10}). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. По теореме Пифагора: \[AB^2 = AM^2 + BM^2\] \[AB^2 = (4\sqrt{10})^2 + 3^2\] \[AB^2 = 16 \cdot 10 + 9\] \[AB^2 = 160 + 9\] \[AB^2 = 169\] \[AB = \sqrt{169}\] \[AB = 13\] Таким образом, длина стороны AB равна 13. **Ответ: 13**