Задание 4: Упростите выражение для всех допустимых значений \(\alpha\). \(\frac{\cos(\alpha - 270^\circ)\cos^5(90^\circ + \alpha)}{\sin^5(360^\circ - \alpha)\operatorname{ctg}(270^\circ + \alpha)}\)

Разберем выражение по частям, используя формулы приведения и основные тригонометрические тождества. 1. \(\cos(\alpha - 270^\circ) = \cos( - (270^\circ - \alpha)) = \cos(270^\circ - \alpha) = - \sin(\alpha)\) 2. \(\cos(90^\circ + \alpha) = - \sin(\alpha)\) 3. \(\sin(360^\circ - \alpha) = - \sin(\alpha)\) 4. \(\operatorname{ctg}(270^\circ + \alpha) = - \operatorname{tg}(\alpha)\) Теперь подставим все это в исходное выражение: \(\frac{\cos(\alpha - 270^\circ)\cos^5(90^\circ + \alpha)}{\sin^5(360^\circ - \alpha)\operatorname{ctg}(270^\circ + \alpha)} = \frac{(-\sin(\alpha))(-\sin(\alpha))^5}{(-\sin(\alpha))^5(-\operatorname{tg}(\alpha))} = \frac{-\sin(\alpha) \cdot (-\sin^5(\alpha))}{-\sin^5(\alpha) \cdot (-\operatorname{tg}(\alpha))} = \frac{\sin^6(\alpha)}{\sin^5(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)}{\operatorname{tg}(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)}{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}} = \cos(\alpha)\) Ответ: \(\cos(\alpha)\)