Задание 5: Найдите значение выражения. \(8 \operatorname{ctg} 109^\circ \cdot \operatorname{ctg} 19^\circ = \)

Преобразуем выражение, используя свойства котангенса и известные значения углов. Заметим, что \(109^\circ = 90^\circ + 19^\circ\), поэтому можно использовать формулу приведения для котангенса: \(\operatorname{ctg}(90^\circ + \alpha) = - \operatorname{tg}(\alpha)\). Тогда \(\operatorname{ctg} 109^\circ = \operatorname{ctg}(90^\circ + 19^\circ) = - \operatorname{tg} 19^\circ\). Подставим это в исходное выражение: \(8 \operatorname{ctg} 109^\circ \cdot \operatorname{ctg} 19^\circ = 8 \cdot ( - \operatorname{tg} 19^\circ) \cdot \operatorname{ctg} 19^\circ\) Так как \(\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}\), то \(\operatorname{tg} 19^\circ \cdot \operatorname{ctg} 19^\circ = 1\). Следовательно, \(8 \cdot ( - \operatorname{tg} 19^\circ) \cdot \operatorname{ctg} 19^\circ = 8 \cdot (-1) = -8\). Ответ: -8