Задание 3. Тренинг. В треугольнике ABC известно, что AB = BC, медиана BM равна 3. Площадь треугольника ABC равна $12\sqrt{7}$. Найдите длину стороны AB.

Задача 3. Пусть $AB = BC = x$. Так как $BM$ - медиана, то $AM = MC$. Пусть $AM = MC = y$. Площадь треугольника $ABC$ можно выразить через основание $AC$ и высоту $BH$, где $H$ - основание высоты, опущенной из вершины $B$ на сторону $AC$. Также можно выразить площадь через две стороны и синус угла между ними. Но в данном случае нам удобнее использовать медиану и площадь. Пусть $S$ - площадь треугольника $ABC$, тогда $S = 12\sqrt{7}$. Известна формула площади треугольника через медиану: $S = \frac{4}{3} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ - полупериметр треугольника со сторонами, равными сторонам, построенными на медианах. В данном случае, медиана $BM = 3$. Площадь треугольника $ABC = 12\sqrt{7}$. Используем формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}AB \cdot BC \cdot sin(\angle B)$. Так как $AB=BC=x$, то $S = \frac{1}{2}x^2 sin(\angle B)$. $12\sqrt{7} = \frac{1}{2}x^2 sin(\angle B)$ Используем теорему косинусов для треугольника $ABM$: $AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot cos(\angle ABM)$ $y^2 = x^2 + 3^2 - 2 \cdot x \cdot 3 \cdot cos(\angle ABM)$ Аналогично для треугольника $CBM$: $CM^2 = BC^2 + BM^2 - 2 \cdot BC \cdot BM \cdot cos(\angle CBM)$ $y^2 = x^2 + 3^2 - 2 \cdot x \cdot 3 \cdot cos(\angle CBM)$ Так как $AB = BC$, то $\angle ABM = \angle CBM$, то есть $BM$ - биссектриса угла $B$. Пусть $\angle ABM = \angle CBM = \frac{\angle B}{2}$. $S = 12\sqrt{7} = \frac{1}{2}x^2 sin(\angle B) = x^2 sin(\frac{\angle B}{2}) cos(\frac{\angle B}{2})$ Воспользуемся свойством медианы, делящей треугольник на два равновеликих (по площади). Площадь $ABM$ = Площадь $CBM$ = $\frac{1}{2}S = 6\sqrt{7}$. Воспользуемся формулой площади: $S_{ABM} = \frac{1}{2} AB \cdot BM \cdot sin(\angle ABM)$. $6\sqrt{7} = \frac{1}{2} x \cdot 3 \cdot sin(\frac{\angle B}{2})$ $12\sqrt{7} = 3x \cdot sin(\frac{\angle B}{2})$ $sin(\frac{\angle B}{2}) = \frac{4\sqrt{7}}{x}$ Подставляем в формулу $12\sqrt{7} = x^2 sin(\frac{\angle B}{2}) cos(\frac{\angle B}{2})$: $12\sqrt{7} = x^2 \cdot \frac{4\sqrt{7}}{x} \cdot cos(\frac{\angle B}{2})$ $3 = x \cdot cos(\frac{\angle B}{2})$ $cos(\frac{\angle B}{2}) = \frac{3}{x}$ Используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$ $(\frac{4\sqrt{7}}{x})^2 + (\frac{3}{x})^2 = 1$ $\frac{16 \cdot 7}{x^2} + \frac{9}{x^2} = 1$ $\frac{112 + 9}{x^2} = 1$ $x^2 = 121$ $x = 11$ (т.к. длина стороны не может быть отрицательной). Ответ: 11