Задание 9. Решите уравнение \(2 \cos^2 x + \sin(\frac{\pi}{2} - x) - 1 = 0\).

Давайте решим тригонометрическое уравнение. Используем формулу приведения \(\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x\). Тогда уравнение примет вид: \(2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0\) Пусть \(y = \cos x\). Тогда уравнение становится квадратным: \(2y^2 + y - 1 = 0\) Решим это квадратное уравнение. Дискриминант равен: \(D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9\) Корни квадратного уравнения: \(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) \(y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1\) Теперь вернемся к \(\cos x\): 1. \(\cos x = \frac{1}{2}\) \(x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) 2. \(\cos x = -1\) \(x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) Ответ: \(x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \ x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\)