Задание №6: Острый угол прямоугольного треугольника равен \(36^\circ\). Найдите острый угол, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник \(ABC\), где \(\angle C = 90^\circ\) и \(\angle A = 36^\circ\). Пусть \(CE\) - биссектриса угла \(C\), а \(AD\) - биссектриса угла \(A\). Нужно найти угол между этими биссектрисами, обозначим его \(\angle X\), где \(X\) - точка пересечения биссектрис. 1. **Найдем \(\angle B\):** \(\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ\) 2. **Найдем углы, образованные биссектрисами:** Так как \(CE\) - биссектриса угла \(C\), то \(\angle ACE = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ\). Так как \(AD\) - биссектриса угла \(A\), то \(\angle CAD = \frac{36^\circ}{2} = 18^\circ\). 3. **Рассмотрим треугольник \(AXC\):** В треугольнике \(AXC\) известны углы \(\angle ACE = 45^\circ\) и \(\angle CAD = 18^\circ\). Следовательно, \[\angle AXC = 180^\circ - (\angle ACE + \angle CAD) = 180^\circ - (45^\circ + 18^\circ) = 180^\circ - 63^\circ = 117^\circ\] Угол, который мы ищем, является острым, поэтому рассмотрим смежный угол с углом \(\angle AXC\): \(\angle DXE = 180^\circ - 117^\circ = 63^\circ\) 4. **Альтернативное решение:** \(\angle B = 90 - 36 = 54\). Рассмотрим точку пересечения биссектрис - точку O. Тогда \(\angle OAC = 36/2 = 18\) \(\angle OCA = 90/2 = 45\) Тогда третий угол в треугольнике \(\triangle OAC\) будет равен \(180 - (45 + 18) = 180 - 63 = 117\). Смежный с ним и будет искомый. \(180 - 117 = 63\). **Ответ:** Искомый острый угол равен \(63^\circ\).