ЗАДАНИЕ №4: Острый угол \(B\) прямоугольного треугольника \(ABC\) равен \(53^\circ\). Найдите угол между высотой \(CH\) и медианой \(CM\), проведенными из вершины прямого угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\), где угол \(C\) прямой, а угол \(B = 53^\circ\). Тогда угол \(A = 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ\). Медиана \(CM\), проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, то есть \(CM = AM = MB\). Следовательно, треугольник \(AMC\) - равнобедренный, и угол \(MAC = MCA = 37^\circ\). Высота \(CH\) образует прямой угол с гипотенузой \(AB\), то есть угол \(CHA = 90^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(ACH\) угол \(ACH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ\). Теперь найдем угол между высотой \(CH\) и медианой \(CM\), то есть угол \(HCM\): \(\angle HCM = \angle ACH - \angle ACM = 53^\circ - 37^\circ = 16^\circ\). Ответ: \(16^\circ\).