ЗАДАНИЕ №5: Острый угол \(B\) прямоугольного треугольника \(ABC\) равен \(59^\circ\). Найдите угол между биссектрисой \(CD\) и медианой \(CM\), проведенными из вершины прямого угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\), где угол \(C\) прямой, а угол \(B = 59^\circ\). Тогда угол \(A = 90^\circ - 59^\circ = 31^\circ\). Так как \(CD\) - биссектриса угла \(C\), то угол \(DCA = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ\). Медиана \(CM\), проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, то есть \(CM = AM = MB\). Следовательно, треугольник \(AMC\) - равнобедренный, и угол \(MAC = MCA = 31^\circ\). Теперь найдем угол между биссектрисой \(CD\) и медианой \(CM\), то есть угол \(DCM\): \(\angle DCM = \angle DCA - \angle MCA = 45^\circ - 31^\circ = 14^\circ\). Ответ: \(14^\circ\).