Задание №6: Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $58^\circ$. Найдите угол между биссектрисой $CD$ и медианой $CM$, проведенными из вершины прямого угла.

Решение: Пусть $C$ - вершина прямого угла. Тогда $\angle A = 90^\circ - 58^\circ = 32^\circ$. $CM$ - медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, то есть $AM = MB = CM$. Следовательно, $\triangle AMC$ - равнобедренный, и $\angle MCA = \angle MAC = 32^\circ$. $CD$ - биссектриса, следовательно, $\angle DCA = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$. Угол между медианой $CM$ и биссектрисой $CD$ равен $\angle MCD = \angle DCA - \angle MCA = 45^\circ - 32^\circ = 13^\circ$. Ответ: $13^\circ$ Объяснение: 1. Находим угол A, зная угол B и прямой угол. 2. Вспоминаем свойство медианы, проведенной из прямого угла. 3. Находим угол MCA, используя равнобедренность треугольника AMC. 4. Находим угол DCA, используя свойство биссектрисы. 5. Находим угол MCD как разность углов DCA и MCA.