Задание 4: Найти общее решение линейного обыкновенного дифференциального уравнения y" - 6y' + 25y = 0

Решение: 1. Запишем характеристическое уравнение: $k^2 - 6k + 25 = 0$ 2. Найдем корни характеристического уравнения: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 36 - 100 = -64$ $k_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{-64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 8i}{2} = 3 \pm 4i$ 3. Так как корни комплексные, то общее решение имеет вид: $y(x) = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$, где $\alpha = 3, \beta = 4$. Подставим значения $\alpha$ и $\beta$: $y(x) = e^{3x} (C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x))$ Ответ: $y(x) = e^{3x} (C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x))$