Задание 3: Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 2, y'(0) = 2: y" - (y')² + y' (y - 1) = 0

Решение: 1. Преобразуем уравнение. Заметим, что уравнение не содержит явно переменную $x$, поэтому можно понизить порядок. Пусть $p(y) = y'$. Тогда $y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = p'p$. Уравнение примет вид: $p'p - p^2 + p(y-1) = 0$ $p(p' - p + y - 1) = 0$ 2. Рассмотрим случай $p = 0$. Это означает, что $y' = 0$, следовательно, $y = C$. Подставляя в исходное уравнение, получим $0 = 0$, что верно. Но начальные условия $y(0) = 2, y'(0) = 2$ не удовлетворяются, поэтому это не решение. 3. Рассмотрим случай $p' - p + y - 1 = 0$. Получим уравнение: $\frac{dp}{dy} - p = 1 - y$ Это линейное уравнение первого порядка относительно $p(y)$. Решим его методом интегрирующего множителя. $\frac{dp}{dy} + P(y)p = Q(y)$, где $P(y) = -1, Q(y) = 1 - y$. Найдем интегрирующий множитель: $\mu(y) = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$. Умножим уравнение на $\mu(y)$: $e^{-y} \frac{dp}{dy} - e^{-y} p = e^{-y} (1 - y)$ $\frac{d}{dy} (e^{-y} p) = e^{-y} (1 - y)$ Проинтегрируем обе части по $y$: $\int \frac{d}{dy} (e^{-y} p) dy = \int e^{-y} (1 - y) dy$ $e^{-y} p = \int e^{-y} dy - \int y e^{-y} dy = -e^{-y} - (-ye^{-y} - e^{-y}) + C_1 = ye^{-y} + C_1$ $p = y + C_1 e^{y}$ 4. Вернемся к замене $p = y'$: $y' = y + C_1 e^{y}$. Теперь надо решить уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. $\frac{dy}{dx} = y + C_1 e^{y}$ $\frac{dy}{y + C_1 e^{y}} = dx$ $\int \frac{dy}{y + C_1 e^{y}} = \int dx$ Проинтегрировать левую часть довольно сложно, а потому решать таким образом нецелесообразно. Рассмотрим уравнение $p' - p + y - 1 = 0$, как уравнение Бернулли: $\frac{dp}{dy} - p = 1 - y$ Общее решение имеет вид: $p = Ce^{y} + y$ Имеем $y'=Ce^{y}+y$. Tогда $y'(0)=2$ и $y(0)=2$, то есть $2 = Ce^{2}+2$ или $C=0$. Тогда $y' = y$, то есть $y = Ae^{x}$, где $y(0)=2$. Отсюда $A = 2$. Тогда $y = 2e^{x}$. Ответ: $y = 2e^{x}$