Задание 7: Найдите основание равнобедренного треугольника, если угол при основании равен 30°, а высота, проведенная к основанию, равна 10 см.

Решение: 1. Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, угол BAC = углу BCA = 30°, и высота BH = 10 см. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В этом треугольнике угол BAH = 30°, BH - катет, противолежащий этому углу. Знаем, что катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Тогда: $\frac{BH}{AB} = sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ $AB = \frac{BH}{sin(30^\circ)} = \frac{10}{\frac{1}{2}} = 20$ см 3. Найдем AH: $AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{20^2 - 10^2} = \sqrt{400 - 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ см 4. Так как высота BH проведена к основанию AC равнобедренного треугольника, то она является и медианой, значит, AH = HC. Следовательно: $AC = 2 * AH = 2 * 10\sqrt{3} = 20\sqrt{3}$ см **Ответ: Основание равно $20\sqrt{3}$ см**