Задание 11: На сторонах AB и AC треугольника ABC взяли точки M и N соответственно так, что AM = 6, MB = 8, AN = 4 и NC = 12. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника AMN равна 9.

Для решения этой задачи, воспользуемся отношением площадей подобных треугольников. 1. Найдем стороны AB и AC: (AB = AM + MB = 6 + 8 = 14) (AC = AN + NC = 4 + 12 = 16) 2. Запишем отношение площадей треугольников AMN и ABC: \[\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{AM \cdot AN}{AB \cdot AC}\] 3. Подставим известные значения: \[\frac{9}{S_{ABC}} = \frac{6 \cdot 4}{14 \cdot 16}\] \[\frac{9}{S_{ABC}} = \frac{24}{224}\] 4. Решим уравнение относительно (S_{ABC}): \[S_{ABC} = \frac{9 \cdot 224}{24}\] \[S_{ABC} = \frac{2016}{24}\] \[S_{ABC} = 84\] Ответ: Площадь треугольника ABC равна 84.