Задание 2: Дано: AC - биссектриса угла BAM, угол BDA = углу BEC, AD = CE, BE = BD (как на рисунке 3.58). Доказать: AM || BC.

Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники ABD и BCE. У нас есть: - BE = BD (дано). - ∠BDA = ∠BEC (дано). - AD = CE (дано). 2. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) треугольники ABD и BCE равны: ΔABD = ΔBCE. 3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠BAD = ∠BCE. 4. Так как AC - биссектриса угла BAM, то ∠BAC = ∠CAM. 5. Теперь рассмотрим углы ∠BAM и ∠BCA. Мы можем выразить их как: - ∠BAM = ∠BAC + ∠CAM = 2 * ∠BAC - ∠BCA = ∠BCE = ∠BAD 6. Рассмотрим угол между AM и AC, который равен углу CAM = ∠BAC 7. Мы хотим доказать, что AM || BC. Для этого нужно показать, что ∠CAM = ∠BCA, так как они являются накрест лежащими углами при прямых AM и BC и секущей AC. 8. Так как ∠BAC = ∠BAD (из доказанных равенств), то равенство ∠CAM = ∠BCA выполняется. 9. Следовательно, AM || BC (по признаку параллельности прямых по равенству накрест лежащих углов). Развернутый ответ: Для доказательства параллельности прямых AM и BC, мы использовали равенство треугольников ABD и BCE, которое было установлено на основании предоставленных условий. Из равенства треугольников следовало равенство углов ∠BAD и ∠BCE. Затем, учитывая, что AC - биссектриса угла BAM, мы показали, что углы ∠CAM и ∠BCA (накрест лежащие) равны, что и доказывает параллельность прямых AM и BC.