Задание 11: Через точку, лежащую на высоте прямого кругового конуса и делящую её в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная его основанию и делящая конус на две части. Каков объём той части конуса, что содержит его основание, если объём всего конуса равен 54?

Пусть \(V\) - объем всего конуса, \(h\) - высота всего конуса. Точка делит высоту в отношении 1:2, считая от вершины, значит, высота малого конуса (верхней части) равна \(\frac{1}{3}h\). Отношение объемов подобных тел равно кубу отношения их линейных размеров. Так как плоскость параллельна основанию, то малый конус подобен большому. Отношение высот малого конуса к высоте большого конуса равно \(\frac{\frac{1}{3}h}{h} = \frac{1}{3}\). Тогда отношение объемов малого конуса \(V_{\text{малый}}\) к объему всего конуса \(V\) равно: $$\frac{V_{\text{малый}}}{V} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$$ Отсюда, \(V_{\text{малый}} = \frac{1}{27} V\). Объем всего конуса равен 54, значит, \(V_{\text{малый}} = \frac{1}{27} cdot 54 = 2\). Объем нижней части конуса (той, что содержит основание) равен разности объема всего конуса и объема малого конуса: $$V_{\text{нижняя}} = V - V_{\text{малый}} = 54 - 2 = 52$$ **Ответ: 52**