ЗАДАНИЕ №6: Большее основание равнобедренной трапеции равно 53. Боковая сторона равна 21. Синус острого угла равен $\frac{2\sqrt{6}}{7}$. Найдите меньшее основание.

Для решения этой задачи мы снова используем свойства равнобедренной трапеции и тригонометрию. Пусть $ABCD$ - равнобедренная трапеция, где $AD = 53$, $AB = CD = 21$, и $\sin A = \frac{2\sqrt{6}}{7}$. Опустим высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ мы имеем $\sin A = \frac{BH}{AB}$, откуда $BH = AB \cdot \sin A = 21 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{7} = 3 \cdot 2\sqrt{6} = 6\sqrt{6}$. Теперь найдем $AH$. Мы знаем, что $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$, следовательно, $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{2\sqrt{6}}{7})^2 = 1 - \frac{4 \cdot 6}{49} = 1 - \frac{24}{49} = \frac{25}{49}$. Тогда $\cos A = \sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{5}{7}$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ мы также имеем $\cos A = \frac{AH}{AB}$, откуда $AH = AB \cdot \cos A = 21 \cdot \frac{5}{7} = 3 \cdot 5 = 15$. Мы знаем, что $AH = KD = (AD - BC) / 2$, следовательно, $15 = (53 - BC) / 2$. Умножим обе части на 2: $30 = 53 - BC$, откуда $BC = 53 - 30 = 23$. Ответ: Меньшее основание трапеции равно 23. Ответ: 23