Задача 11: На сторонах AB и AC треугольника ABC взяли точки M и N соответственно так, что AM = 6, MB = 8, AN = 4 и NC = 12. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника AMN равна 9.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой об отношении площадей подобных треугольников. 1. Найдем отношение сторон AM к AB и AN к AC: \[ \frac{AM}{AB} = \frac{6}{6+8} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7} \] \[ \frac{AN}{AC} = \frac{4}{4+12} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \] 2. Используем формулу для отношения площадей треугольников AMN и ABC: \[ \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AN}{AC} \] 3. Подставим известные значения: \[ \frac{9}{S_{ABC}} = \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{4} \] \[ \frac{9}{S_{ABC}} = \frac{3}{28} \] 4. Выразим площадь треугольника ABC: \[ S_{ABC} = \frac{9 \cdot 28}{3} = 3 \cdot 28 = 84 \] Ответ: Площадь треугольника ABC равна 84.