Задача №2: Угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника равен... Найдите меньший угол прямоугольного треугольника.

1. **Углы прямоугольного треугольника:** В прямоугольном треугольнике один угол прямой (90°), а два других угла острые. Пусть эти острые углы равны \(\alpha\) и \(\beta\). 2. **Сумма острых углов:** Сумма всех углов в треугольнике равна 180°. Поскольку один угол прямой, то \(\alpha + \beta + 90^{\circ} = 180^{\circ}\). Отсюда следует, что \(\alpha + \beta = 90^{\circ}\). 3. **Биссектрисы:** Биссектриса угла делит его на два равных угла. Значит, биссектриса угла \(\alpha\) образует угол \(\frac{\alpha}{2}\), а биссектриса угла \(\beta\) образует угол \(\frac{\beta}{2}\). 4. **Угол между биссектрисами:** Угол между биссектрисами острых углов и прямой угол образуют треугольник, углы которого равны \(\frac{\alpha}{2}\), \(\frac{\beta}{2}\), и угол между биссектрисами. Из условия задачи известно, что этот угол между биссектрисами не прямой. Обозначим этот угол за \(\gamma\). 5. **Сумма углов треугольника:** Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, \(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \gamma = 180^{\circ}\). Заметим, что \(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}\). Таким образом, \(45^{\circ} + \gamma = 180^{\circ}\), что означает, что угол между биссектрисами \(\gamma = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}\). 6. **Связь углов и биссектрис:** Угол между биссектрисами в треугольнике образует треугольник с меньшими углами, поэтому по условию задачи, если угол между биссектрисами острых углов равен 135 градусам. Значит, угол между биссектрисами образует тупой угол. Тогда рассмотрим треугольник образованный биссектрисами, и получим что угол между биссектрисами равен 90 +45 = 135 градусов. При этом сумма углов образованных биссектрисами \(\frac{\alpha}{2}\) и \(\frac{\beta}{2}\) составляет 45 градусов. А сумма острых углов равна 90. 7. **Меньший угол прямоугольного треугольника:** Из условия задачи не ясно какой именно меньший угол нужно найти, однако по условию, что угол между биссектрисами тупой, мы можем утверждать, что треугольник не равнобедренный и что углы \(\alpha\) и \(\beta\) не равны, и что меньший из этих углов меньше 45 градусов. Поэтому конкретный меньший угол найти невозможно. **Ответ:** Угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника равен 135°. При этом меньший из углов треугольника, меньше 45 градусов.