Задача 1: Найти CH, AC, BC и отношение площадей $S_{ACH} : S_{BCH}$ для треугольника на рисунке 7.116, где AH = 16 и BH = 25.

Решение задачи 1: а) Найти CH, AC, BC: 1. Найдем CH (высоту): Так как треугольник ABC прямоугольный (угол C = 90 градусов), то $CH^2 = AH * BH$. Подставляем значения: $CH^2 = 16 * 25 = 400$. Следовательно, $CH = \sqrt{400} = 20$. 2. Найдем AC: В прямоугольном треугольнике ACH: $AC^2 = AH^2 + CH^2$. Подставляем значения: $AC^2 = 16^2 + 20^2 = 256 + 400 = 656$. Следовательно, $AC = \sqrt{656} = 4\sqrt{41}$. 3. Найдем BC: В прямоугольном треугольнике BCH: $BC^2 = BH^2 + CH^2$. Подставляем значения: $BC^2 = 25^2 + 20^2 = 625 + 400 = 1025$. Следовательно, $BC = \sqrt{1025} = 5\sqrt{41}$. б) Найти отношение площадей $S_{ACH} : S_{BCH}$: 1. Площадь треугольника ACH: $S_{ACH} = (1/2) * AH * CH = (1/2) * 16 * 20 = 160$. 2. Площадь треугольника BCH: $S_{BCH} = (1/2) * BH * CH = (1/2) * 25 * 20 = 250$. 3. Отношение площадей: $S_{ACH} : S_{BCH} = 160 : 250 = 16 : 25$. Ответ: CH = 20, AC = $4\sqrt{41}$, BC = $5\sqrt{41}$, $S_{ACH} : S_{BCH} = 16 : 25$