Задача 1: Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K. BK = 12, DK = 9, BC = 16. Найдите AD.

Решение: 1. При пересечении хорд (или продолжений хорд) внутри или вне окружности произведение длин отрезков одной хорды (или секущей) равно произведению длин отрезков другой хорды (или секущей). 2. В данном случае, у нас есть две секущие, пересекающиеся в точке K вне окружности. 3. Следовательно, AK * BK = CK * DK. 4. Заметим, что CK = CD + DK. Аналогично AB = AK - BK, мы не можем напрямую воспользоваться этой формулой. Необходимо использовать следствие теоремы о секущих, которое гласит: (KB * KA) = (KC * KD) 5. Мы знаем, что BK = 12, DK = 9, BC = 16. Обозначим AK= x, тогда KA = x и CK = y 6. Используя свойство секущих, имеем: KB * (KB+AB) = KD * (KD+CD). Также можно сказать, что BK*(AK) = DK*(CK) 7. Мы знаем, что AB = AK-BK, то есть AK = AB+BK и CD = CK - DK, то есть CK = CD+DK 8. Учитывая, что углы ∠ABC и ∠ADC опираются на одну и ту же дугу AC, углы ∠KBC = ∠KAD и ∠KCB= ∠KDA. Следовательно, треугольники ΔKBC и ΔKAD подобны по двум углам. Из подобия следует соотношение сторон: KB/KA=BC/AD=KC/KD 9. Отсюда KB/KA = BC/AD и KC/KD = BC/AD, а также KB/KA = KC/KD 10. Мы знаем что BK=12, DK=9, BC=16, подставим в пропорцию: 12/KA = 16/AD и KC/9 = 16/AD => отсюда 12/KA = KC/9 => KA = 108/KC 11. из пропорции KB/KD=CB/AD => 12/9 = 16/AD 12. AD = (16 * 9) / 12 13. AD = 144 / 12 14. AD = 12 Ответ: AD = 12.