Задача 17. Задумали трёхзначное число, которое делится на 35. Затем цифры десятков и единиц поменяли местами и полученное число вычли из задуманного. Получили число 63. Какое число было задумано?

Решение: Пусть задуманное число имеет вид \(100a + 10b + c\), где a, b, и c - цифры этого числа. Известно, что число делится на 35, значит, оно делится на 5 и на 7. После перестановки цифр десятков и единиц получается число \(100a + 10c + b\). Из условия задачи известно, что разность между задуманным числом и числом с переставленными цифрами равна 63: \((100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 63\) Упростим уравнение: \(10b + c - 10c - b = 63\) \(9b - 9c = 63\) Разделим обе части на 9: \(b - c = 7\) Так как b и c - цифры, то \(b\) может быть только 7, 8 или 9, а \(c\) соответственно 0, 1 или 2. Теперь рассмотрим возможные варианты чисел, делящихся на 35. Число должно оканчиваться либо на 0, либо на 5. Если \(c = 0\), то \(b = 7\). Число имеет вид \(100a + 70 + 0\) или \(100a + 70\). Чтобы оно делилось на 35, необходимо, чтобы \(100a + 70\) делилось на 35. Проверим несколько значений \(a\): * Если \(a = 1\), то \(170\) не делится на 35. * Если \(a = 2\), то \(270\) не делится на 35. * Если \(a = 3\), то \(370\) не делится на 35. * Если \(a = 4\), то \(470\) не делится на 35. * Если \(a = 5\), то \(570\) не делится на 35. * Если \(a = 6\), то \(670\) не делится на 35. * Если \(a = 7\), то \(770\) делится на 35 (\(770 = 35 \cdot 22\)). Итак, число 770 подходит. Если \(c = 5\), то \(b = 12\). Но это невозможно, так как b - цифра от 0 до 9. Если \(c = 1\), то \(b = 8\). Число имеет вид \(100a + 81\). Число должно делится на 35, значит должно оканчиваться на 0 или 5. Этот вариант отпадает. Если \(c = 2\), то \(b = 9\). Число имеет вид \(100a + 92\). Число должно делится на 35, значит должно оканчиваться на 0 или 5. Этот вариант отпадает. Таким образом, задуманное число - 770. Ответ: 770 Разъяснение для ученика: В этой задаче мы использовали алгебраический подход для решения. Мы представили задуманное число в виде суммы сотен, десятков и единиц, а затем составили уравнение на основе условия задачи. Решив это уравнение, мы нашли возможные варианты цифр и проверили, делится ли полученное число на 35. Важно было учесть, что число должно делиться на 35, то есть на 5 и на 7, и что разность между числом и числом с переставленными цифрами известна. В итоге мы нашли единственное подходящее число.