Задача 17: Задумали трёхзначное число, которое делится на 18 и последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 594. Какое число было задумано?

Решение: Пусть задумано число \(\overline{abc}\), где a, b, c - цифры, и \(c
eq 0\). 1. Запишем число в развернутом виде: \(\overline{abc} = 100a + 10b + c\). 2. Число, записанное в обратном порядке: \(\overline{cba} = 100c + 10b + a\). 3. Разность этих чисел равна 594: \(100a + 10b + c - (100c + 10b + a) = 594\). 4. Упростим уравнение: \(99a - 99c = 594\). 5. Разделим обе части уравнения на 99: \(a - c = 6\). 6. Так как число \(\overline{abc}\) делится на 18, оно должно делиться на 2 и на 9. Следовательно, число должно быть четным (c - четное), и сумма цифр a+b+c должна делиться на 9. 7. Теперь переберем возможные варианты для a и c, учитывая, что \(a - c = 6\) и \(c
eq 0\). * Если \(c = 1\), то \(a = 7\). * Если \(c = 2\), то \(a = 8\). * Если \(c = 3\), то \(a = 9\). * Если \(c = 4\), то \(a = 10\), что невозможно, так как a - цифра. 8. Рассмотрим варианты: * \(a=7, c=1\). Тогда \(7+b+1 = 8+b\) должно делиться на 9. Следовательно, \(b = 1\), и число равно 711. Проверяем: \(711 \div 18 = 39.5\) (не делится на 18). * \(a=8, c=2\). Тогда \(8+b+2 = 10+b\) должно делиться на 9. Следовательно, \(b = 8\), и число равно 882. Проверяем: \(882 \div 18 = 49\) (делится на 18). Также \(882 - 288 = 594\). * \(a=9, c=3\). Тогда \(9+b+3 = 12+b\) должно делиться на 9. Следовательно, \(b = 6\), и число равно 963. Проверяем: \(963 \div 18 = 53.5\) (не делится на 18). Ответ: 882. **Объяснение для ученика:** * **Шаг 1: Запись числа в виде формулы.** Представляем трехзначное число в виде суммы сотен, десятков и единиц, чтобы было удобно работать с цифрами. * **Шаг 2: Составление уравнения.** Составляем уравнение на основе условия задачи о разности чисел. * **Шаг 3: Упрощение уравнения.** Упрощаем уравнение, чтобы найти связь между первой и последней цифрами задуманного числа. * **Шаг 4: Использование признаков делимости.** Используем признаки делимости на 18 (делимость на 2 и на 9), чтобы сузить круг возможных вариантов. * **Шаг 5: Перебор вариантов и проверка.** Перебираем возможные значения цифр, удовлетворяющие условию уравнения и признакам делимости. Проверяем каждый вариант, чтобы найти правильный ответ.