Задача 17. Задумали трехзначное число, которое делится на 42 и последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 594. Какое число было задумано?

Пусть задумали трехзначное число \(\overline{abc}\), где a, b, c - цифры, причем \(c
e 0\). Тогда по условию: 1. Число \(\overline{abc}\) делится на 42. 2. \(\overline{abc} - \overline{cba} = 594\) Разложим второе условие: \((100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 594\) \(100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 594\) \(99a - 99c = 594\) \(99(a - c) = 594\) \(a - c = \frac{594}{99} = 6\) Значит, \(a - c = 6\), или \(a = c + 6\). Т.к. a и c - цифры, то возможны следующие варианты: * Если \(c = 1\), то \(a = 7\) * Если \(c = 2\), то \(a = 8\) * Если \(c = 3\), то \(a = 9\) Получаем возможные варианты для числа \(\overline{abc}\): \(\overline{7b1}\), \(\overline{8b2}\), \(\overline{9b3}\). Так как число \(\overline{abc}\) делится на 42, то оно делится на 2, 3 и 7. * Числа \(\overline{7b1}\), \(\overline{9b3}\) не делятся на 2, значит они не подходят. * Остается проверить числа вида \(\overline{8b2}\). Число \(\overline{8b2}\) делится на 3, если \(8 + b + 2\) делится на 3. Это значит, что \(10 + b\) делится на 3. Значит, b может быть равно 2, 5, 8. Возможные варианты: 822, 852, 882. Теперь проверим делимость на 7: * \(\frac{822}{7} = 117,4...\) - не делится. * \(\frac{852}{7} = 121,7...\) - не делится. * \(\frac{882}{42} = 21\). Значит, \(882 = 42 \cdot 21\). Число 882 удовлетворяет всем условиям. Ответ: Задуманное число - \(\textbf{882}\).