Задача 2 (вариант II): AB и CD пересекаются в точке O, AO = 12 см, BO = 4 см, CO = 30 см, DO = 10 см. Найдите угол CAO, если ∠DBO = 61°. Найдите отношение площадей треугольников AOC и BOD.

**1. Нахождение угла CAO:** Рассмотрим треугольники AOC и BOD. Угол AOC равен углу BOD как вертикальные углы. Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этим углам: $\frac{AO}{BO} = \frac{12}{4} = 3$ $\frac{CO}{DO} = \frac{30}{10} = 3$ Так как $\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$ и ∠AOC = ∠BOD, то треугольники AOC и BOD подобны по двум сторонам и углу между ними. Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠CAO = ∠DBO. Значит, ∠CAO = 61°. **2. Нахождение отношения площадей:** Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия k равен отношению соответствующих сторон, например, AO и BO: $k = \frac{AO}{BO} = 3$ Отношение площадей треугольников AOC и BOD: $\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = k^2 = 3^2 = 9$ **Ответ:** ∠CAO = 61°, отношение площадей треугольников AOC и BOD равно 9.