Задача 1: В прямоугольном треугольнике ABC \(\angle A = 90^\circ\), AB = 20 см, высота AD = 12 см. Найдите AC и cos \(\angle C\).

**Решение:** 1. **Найдем площадь треугольника ABC двумя способами:** * Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Используем AB как основание, а AC как перпендикуляр. \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC\) * Также можно использовать BC как основание, а AD как высоту. \(S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD\) * Приравняем оба выражения для площади: \(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD\) \(AB \cdot AC = BC \cdot AD\) 2. **Выразим AC:** \(AC = \frac{BC \cdot AD}{AB}\) 3. **Найдем BD:** По теореме Пифагора для треугольника ABD: \(BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400-144} = \sqrt{256} = 16\) cм. 4. **Пусть DC = x:** Тогда, по свойству высоты прямоугольного треугольника: \(AD^2 = BD \cdot DC\), то есть \(12^2 = 16 \cdot x\), отсюда \(x = DC = \frac{144}{16} = 9\) 5. **Тогда BC = BD + DC:** \(BC = 16 + 9 = 25\) cм. 6. **Найдем AC:** Теперь подставим известные значения в формулу для AC: \(AC = \frac{BC \cdot AD}{AB} = \frac{25 \cdot 12}{20} = \frac{300}{20} = 15\) см. 7. **Найдем cos \(\angle C\):** \(cos \angle C = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0.6\) **Ответ:** AC = 15 см, cos \(\angle C\) = 0.6