Задача №3: В параллелограмме ABCD биссектриса угла A, равного 60°, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 5.

Решение: 1. **Анализ углов:** Так как AM - биссектриса угла A, то ∠BAM = ∠MAD = 60°/2 = 30°. Поскольку AB || CD, то ∠CDA = 180° - ∠BAD = 180° - 60° = 120°. Так как DM - часть стороны, то ∠MDA = (180-∠CDA)/2 = (180-120)/2 = 30 2. **Рассмотрение треугольника AMD:** Так как AM ⊥ DM, то треугольник AMD - прямоугольный. Из условия задачи: ∠MAD= 30° и ∠MDA = 30°. Значит, ∠AMD = 90°. Отсюда следует, что сумма углов ∠MAD + ∠MDA = 30+30=60°. Так как ∠CDA = 120 то, △ADM равнобедренный. Значит AD=AM. 3. **Рассмотрение треугольника ABM:** ∠BAM = 30°. ∠ABM = 180°-∠BAD = 180 -60 = 120° (как смежный угол к углу параллелограмма). Значит, ∠AMB = 180° - (30° + 120°) = 30°. Следовательно, треугольник ABM - равнобедренный, и AB = BM = 5. 4. **Нахождение стороны AD:** Так как BM = 5 и M лежит на BC, то BC = BM + MC. Заметим, что AM - биссектриса, значит ∠BAM = ∠MAD. Но, так как AB || CD, то ∠BAM = ∠DMA (накрест лежащие углы). Значит, ∠DMA = ∠MAD, а это значит, что треугольник AMD равнобедренный, и AD = MD. Т.к. AD=BC параллелограмма, a BC=BM+MC, то нам нужно найти MC. Треугольник ADM прямоугольный, ∠DMA=∠MAD, значит AM=MD. Также, ∠MDA = ∠MAD = 30°, то треугольник ADM равнобедренный, значит AM = DM. Так как AB = BM = 5, то из свойств параллелограмма следует, что AD = BC. Заметим, что AD=AM=BC. Т.к. AB=BM=5, значит BC = BM + MC. В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть AD=BC, и следовательно AD= 5 + 5√3=2BC. Так как ∠MAD = ∠DMA = 30°, а ΔAMD прямоугольный, то AD=2AM. Так как AM=AD, значит AD=AM = 2AD, т.е. BM+MC=AM 4. **Вычисление периметра:** Так как AB = 5 и AD = 5√3, то периметр P = 2 * (AB + AD) = 2 * (5 + AD)= 2 * 5 + 2*AD = 10+2*AD. AD=BC. Значит P = 10+2*(10) =30. Значит периметр равен 30. AD=2MC, значит MC = AD/2 Ответ: Периметр параллелограмма равен 30.