Задача 3: Определите, является ли треугольник ABC тупоугольным, если его биссектрисы пересекаются в точке O и \(\angle AOB = 140^{\circ}\).

Решение: 1. Рассмотрим треугольник \(AOB\). Известно, что \(\angle AOB = 140^{\circ}\). 2. Сумма углов в треугольнике \(AOB\) равна \(180^{\circ}\), поэтому \(\angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}\). 3. Так как \(AO\) и \(BO\) - биссектрисы углов \(A\) и \(B\) соответственно, то \(\angle A = 2 \cdot \angle OAB\) и \(\angle B = 2 \cdot \angle OBA\). 4. Следовательно, \(\angle A + \angle B = 2 \cdot (\angle OAB + \angle OBA) = 2 \cdot 40^{\circ} = 80^{\circ}\). 5. Найдем угол \(C\) треугольника \(ABC\): \(\angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}\). 6. Так как \(\angle C = 100^{\circ}\) больше \(90^{\circ}\), треугольник \(ABC\) является тупоугольным. Ответ: Треугольник ABC является тупоугольным.