Задача 11. На сторонах AB и AC треугольника ABC взяли точки M и N соответственно так, что AM = 6, MB = 8, AN = 4 и NC = 12. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника AMN равна 9.

Для решения этой задачи, мы можем использовать теорему об отношении площадей подобных треугольников. 1. Найдем отношение сторон AM к AB и AN к AC: \(\frac{AM}{AB} = \frac{6}{6+8} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}\) \(\frac{AN}{AC} = \frac{4}{4+12} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}\) 2. Площади треугольников AMN и ABC относятся как произведение отношений соответствующих сторон: \(\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AN}{AC} = \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{28}\) 3. Найдем площадь треугольника ABC, зная площадь треугольника AMN: \(S_{ABC} = S_{AMN} \cdot \frac{28}{3} = 9 \cdot \frac{28}{3} = 3 \cdot 28 = 84\) Ответ: 84