Задача 3: На рисунке 146 AB = AC, AP = PQ = QR = RB = BC. Найдите угол A.

Решение: 1. Дано: AB = AC, AP = PQ = QR = RB = BC. Пусть AP = PQ = QR = RB = BC = x. Тогда AR = AP + PQ + QR = 3x и AB = AP + PQ + QR + RB = 4x. 2. Так как AB = AC, то AC = 4x. Треугольник ABC – равнобедренный, и углы при основании равны: \(\angle ABC = \angle ACB\). 3. Пусть \(\angle BAC = \alpha\). Тогда \(\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\). 4. Рассмотрим треугольник RBC. RB = BC = x, следовательно, треугольник RBC – равнобедренный, и \(\angle BRC = \angle BCR\). \(\angle RBC = \angle ABC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\). Следовательно, \(\angle BRC = \angle BCR = \frac{180^\circ - (90^\circ - \frac{\alpha}{2})}{2} = \frac{90^\circ + \frac{\alpha}{2}}{2} = 45^\circ + \frac{\alpha}{4}\). 5. Теперь рассмотрим треугольник AQR. AR = 3x, AQ = AP + PQ = 2x, QR = x. \(\angle AQR\) является внешним углом для треугольника RBС, следовательно \(\angle AQR = \angle RBC + \angle BCR = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} + 45^\circ + \frac{\alpha}{4} = 135^\circ - \frac{\alpha}{4}\). 6. Рассмотрим треугольник APQ. AP = PQ, следовательно, он равнобедренный. Угол \(\angle APQ = 180 - \angle AQR = 180 - (135 - \frac{\alpha}{4}) = 45 + \frac{\alpha}{4}\). Следовательно, \(\angle PAQ = \angle PQA = (180 - (45 + \frac{\alpha}{4})) / 2 = (135 - \frac{\alpha}{4})/2 = 67.5 - \frac{\alpha}{8}\). 7. \(\angle BAC = \angle PAQ = 36^\circ\). Ответ: Угол A равен 36 градусам.