Задача 5: Измерения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ имеют длины: $AD = 5$ см, $AB = 4$ см, $AA_1 = 6$ см. Найдите длины векторов: a) $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{CC_1}$ b) $\overrightarrow{DB}$, $\overrightarrow{DB_1}$, $\overrightarrow{DC_1}$

Решение: a) Длины векторов $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{CC_1}$: - Длина вектора $\overrightarrow{CB}$ равна длине стороны $AB$, так как $ABCD$ - прямоугольник, и $CB = AB = 4$ см. - Длина вектора $\overrightarrow{CD}$ равна длине стороны $AD$, так как $ABCD$ - прямоугольник, и $CD = AD = 5$ см. - Длина вектора $\overrightarrow{CC_1}$ равна длине ребра $AA_1$ параллелепипеда, и $CC_1 = AA_1 = 6$ см. b) Длины векторов $\overrightarrow{DB}$, $\overrightarrow{DB_1}$, $\overrightarrow{DC_1}$: - Длина вектора $\overrightarrow{DB}$ равна диагонали прямоугольника $ABCD$. По теореме Пифагора: $DB = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$ см. - Длина вектора $\overrightarrow{DB_1}$ равна диагонали прямоугольного параллелепипеда. По теореме Пифагора: $DB_1 = \sqrt{AD^2 + AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{5^2 + 4^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 16 + 36} = \sqrt{77}$ см. - Длина вектора $\overrightarrow{DC_1}$ равна диагонали грани $DCC_1D_1$. По теореме Пифагора: $DC_1 = \sqrt{DC^2 + CC_1^2} = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}$ см. Ответ: a) $CB = 4$ см, $CD = 5$ см, $CC_1 = 6$ см b) $DB = \sqrt{41}$ см, $DB_1 = \sqrt{77}$ см, $DC_1 = \sqrt{61}$ см