Задача 15: Из деревни в сторону железнодорожной станции одновременно отправились пешеход и велосипедист. Когда велосипедист доехал до станции, он повернул обратно и прибыл в деревню ровно в тот момент, когда пешеход дошёл до станции. Найдите расстояние от деревни до железнодорожной станции, если на обратном пути велосипедист встретил пешехода, когда тому оставалось дойти до станции 6 км.

Решение: Пусть расстояние от деревни до станции равно S км. Пусть скорость пешехода равна v_п км/ч, а скорость велосипедиста равна v_в км/ч. 1. Время, которое затратил велосипедист на путь до станции и обратно до деревни, равно времени, которое затратил пешеход на путь до станции: $$\frac{S}{v_в} + \frac{S}{v_в} = \frac{S}{v_п}$$ $$\frac{2S}{v_в} = \frac{S}{v_п}$$ $$2v_п = v_в$$ Скорость велосипедиста в 2 раза больше скорости пешехода. 2. Пусть велосипедист встретил пешехода на расстоянии x км от станции. К моменту встречи пешеход прошёл S - 6 км от деревни, а велосипедист проехал S км до станции и x км обратно. Время, которое затратил пешеход до встречи с велосипедистом: $$\frac{S-6}{v_п}$$ Время, которое затратил велосипедист до встречи с пешеходом: $$\frac{S + x}{v_в}$$ Эти времена равны: $$\frac{S-6}{v_п} = \frac{S + x}{v_в}$$ Так как $v_в = 2v_п$: $$\frac{S-6}{v_п} = \frac{S + x}{2v_п}$$ $$2(S-6) = S + x$$ $$2S - 12 = S + x$$ $$S = 12 + x$$ 3. С другой стороны, пешеходу осталось пройти 6 км до станции, значит, расстояние от места встречи до станции равно 6 км. То есть, x = 6 км. Подставим x = 6 в уравнение $S = 12 + x$: $$S = 12 + 6 = 18$$ Ответ: 18 км