Задача 2: Хорда AB равна 38 см, OA и OB - радиусы окружности, причем угол AOB равен 90°. Найдите расстояние от точки O до хорды AB.

Пусть дана окружность с центром O, хорда AB = 38 см и угол AOB = 90°. Нужно найти расстояние от точки O до хорды AB. Обозначим расстояние от O до AB как OH, где H - середина AB. Так как OH - перпендикуляр к AB, то треугольник AOH - прямоугольный. 1. **Находим AH:** Так как H - середина AB, то AH = AB / 2 = 38 / 2 = 19 см. 2. **Треугольник AOB - равнобедренный:** OA = OB (радиусы окружности). Поскольку угол AOB = 90°, треугольник AOB - прямоугольный и равнобедренный. 3. **Находим OA (радиус):** По теореме Пифагора для треугольника AOB: $OA^2 + OB^2 = AB^2$ Так как OA = OB, то: $2OA^2 = 38^2$ $OA^2 = \frac{38^2}{2} = \frac{1444}{2} = 722$ $OA = \sqrt{722} = 19\sqrt{2}$ см. 4. **Треугольник AOH:** В прямоугольном треугольнике AOH: AO = $19\sqrt{2}$, AH = 19. Необходимо найти OH. 5. **Угол OAH:** В равнобедренном прямоугольном треугольнике AOB углы при основании равны 45°, то есть $\angle OAB = 45^\circ$. Таким образом, $\angle OAH = 45^\circ$. 6. **Находим OH:** OH - катет в прямоугольном треугольнике AOH, прилежащий к углу OAH. $\tan(\angle OAH) = \frac{OH}{AH}$ $\tan(45^\circ) = \frac{OH}{19}$ $1 = \frac{OH}{19}$ $OH = 19$ см. **Ответ:** Расстояние от точки O до хорды AB равно **19 см**.