Задача 1: Дано \(\angle A = \angle B\), \(CO = 4\), \(DO = 6\), \(AO = 5\). Найти: а) \(OB\); б) \(AC:BD\); в) \(S_{AOC}: S_{BOD}\)

**Решение:** а) Рассмотрим треугольники AOC и BOD. Угол AOC равен углу BOD (вертикальные углы). Так как \(\angle A = \angle B\) (по условию), то треугольники AOC и BOD подобны по двум углам. Из подобия следует: \(\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}\) \(\frac{5}{BO} = \frac{4}{6}\) \(BO = \frac{5 * 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5\) Ответ: OB = 7.5. б) \(AC:BD\) Из подобия треугольников AOC и BOD, следует: \(\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO} = \frac{5}{7.5} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3}\) Ответ: \(AC:BD = 2:3\) в) \(S_{AOC}: S_{BOD}\) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия у нас \(\frac{2}{3}\). Следовательно, отношение площадей будет равно: \((\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}\) Ответ: \(S_{AOC}: S_{BOD} = 4:9\)