Задача №5: ABCDEFGHI - правильный девятиугольник. Найдите угол AIH. Ответ дайте в градусах.

В данной задаче требуется найти угол \(\angle AIH) в правильном девятиугольнике \(ABCDEFGHI). В правильном девятиугольнике все стороны и все углы равны. Сумма внутренних углов многоугольника вычисляется по формуле: \((n - 2) \times 180^\circ), где \(n) - количество сторон. Для девятиугольника: \((9 - 2) \times 180^\circ = 7 \times 180^\circ = 1260^\circ). Так как девятиугольник правильный, каждый его внутренний угол равен: \(\frac{1260^\circ}{9} = 140^\circ). Следовательно, \(\angle A = \angle I = 140^\circ). Рассмотрим треугольник \(AIH). Так как девятиугольник правильный, \(AI = HI), и треугольник \(AIH) равнобедренный. Значит, \(\angle IAH = \angle IHA). Угол \(A) правильного девятиугольника равен \(140^\circ). Следовательно, угол \(HAI) является частью угла \(A). Чтобы найти угол \(AIH), нам нужно найти углы \(\angle IAH) и \(\angle IHA). Поскольку \(AIH) - равнобедренный треугольник и \(AI = HI), углы при основании равны. То есть \(\angle IAH = \angle IHA). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ). \[\angle AIH + \angle IAH + \angle IHA = 180^\circ\] \[\angle AIH + 2 \times \angle IAH = 180^\circ\] Найдем угол \(IAH). Угол \(IAH) состоит из двух углов, смежных со сторонами многоугольника. Так как многоугольник правильный, то эти углы равны. Угол правильного многоугольника вычисляется как \(180 - \frac{360}{n}\), где \(n) – количество сторон. В данном случае, \(n=9\). \[180 - \frac{360}{9} = 180 - 40 = 140^\circ\] Теперь рассмотрим треугольник \(AIH\). Угол \(\angle AIH) равен \((180 - 20 - 20) = 140 \div 3 = 20^\circ\) \[\angle IAH = \angle A\div 2\] \[=20^\circ\] Следовательно \[AIH = 180 - 2(20) = 140^\circ\] \[\angle AIH = (180-40)/2 = 70^\circ\] \[\angle AIH = \frac{180-20}{2}\] \[180 - 2x = AHI\] Следовательно, угол \(\angle AIH) равен \(\frac{180 - (20)}{2} = (180 - (40)) \div 2= 20^\circ\). **Ответ: 20**