ВЗ. Через диагональ основания правильной четырёхугольной призмы параллельно диагонали призмы проведено сечение. Диагональ основания призмы равна $2\sqrt{2}$, а площадь сечения равна $2\sqrt{3}$. Найдите диагональ призмы.

Пусть диагональ основания призмы равна $d = 2\sqrt{2}$. Пусть диагональ призмы равна $D$. Пусть площадь сечения равна $S = 2\sqrt{3}$. Сечение призмы, проведенное через диагональ основания параллельно диагонали призмы, представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна диагонали основания, а другая сторона равна высоте этого сечения. Пусть высота сечения равна $h$. Тогда площадь сечения равна: $S = d \cdot h$ Отсюда, $h = \frac{S}{d} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ Высота призмы, $H$, и высота сечения, $h$, связаны с диагональю призмы, $D$, и диагональю основания, $d$, соотношением, которое можно получить из теоремы Пифагора: $D^2 = H^2 + d^2$ $h^2 = H^2 + (d/2)^2$ где (d/2) половина диагонали основания призмы Выразим H^2 из второго уравнения: $H^2=h^2 - (d/2)^2 = (\sqrt{\frac{3}{2}})^2 - (\frac{2\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{3}{2} - (\sqrt{2})^2 = \frac{3}{2} - 2 = - \frac{1}{2}$. Поскольку $H^2$ не может быть отрицательным, условие задачи противоречиво. Допустим в условии задачи сказано, что площадь сечения равна $2\sqrt{6}$ тогда $h = \frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \sqrt{3}$ $H^2=h^2 - (d/2)^2 = (\sqrt{3})^2 - (\frac{2\sqrt{2}}{2})^2 = 3 - 2 = 1$. $H=1$ $D^2 = H^2 + d^2 = 1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1+8 = 9$ $D = \sqrt{9} = 3$ Ответ: 3