2. Высота BD прямоугольного треугольника ABC равна 24 см и отсекает от гипотенузы AC отрезок DC, равный 18 см. Найти AB и cos A.

Решение: Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. По теореме Пифагора: \[BC^2 = BD^2 + DC^2\] \[BC^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900\] \[BC = \sqrt{900} = 30 \text{ см}\] Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Обозначим AD = x. Тогда AC = AD + DC = x + 18. Из подобия треугольников ABC и BDC (они оба прямоугольные и имеют общий угол C) следует, что \(\frac{BD}{AD} = \frac{DC}{BD}\). Отсюда: \[BD^2 = AD \cdot DC\] \[24^2 = x \cdot 18\] \[576 = 18x\] \[x = \frac{576}{18} = 32 \text{ см}\] Тогда AC = 32 + 18 = 50 см. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора: \[AB^2 + BC^2 = AC^2\] \[AB^2 + 30^2 = 50^2\] \[AB^2 = 2500 - 900 = 1600\] \[AB = \sqrt{1600} = 40 \text{ см}\] Чтобы найти cos A, воспользуемся определением косинуса в прямоугольном треугольнике: \[\cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5} = 0.8\] Ответ: AB = 40 см, cos A = 0.8.