ВАРИАНТ 21. Задача 16: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK = 12, DK = 16, BC = 24. Найдите AD.

По свойству секущихся, проведенных из одной точки к окружности, имеем: $BK \cdot AK = DK \cdot CK$ $(AK = AB + BK)$, $(CK = CD + DK)$ $BK \cdot (BK + AB) = DK \cdot (DK + DC)$ Заметим, что $\triangle BCK \sim \triangle DAK$ (по двум углам: $\angle BKA = \angle DKA$ как вертикальные и $\angle CBK = \angle CDA$ как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Следовательно, $\frac{BK}{DK} = \frac{BC}{AD}$. Отсюда: $AD = \frac{BC \cdot DK}{BK} = \frac{24 \cdot 16}{12} = 32$ Ответ: 32